พื้นที่ใต้เส้นโค้ง

พื้นที่ใต้เส้นโค้งทั้งหมดปกติคิดเป็น 1 ถ้าต้องการทำเป็นเปอร์เซ็นต์หรือทำให้พื้นที่ภายใต้เส้นโค้งปกติเป็น 100 ก็ให้ทำ 100 ไปคูณพื้นที่ก็จะเป็นค่าเปอร์เซ็นต์

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ ซึ่งมีค่ามัชฌิมเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่างกัน โดยใช้วิธีการเปลี่ยน X ให้เป็นคะแนนมาตราน Z โดยใช้สูตร Z =

จากรูปพื้นที่ให้โค้งปกติระหว่าง X1 และ X2 จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z1 และ Z2

เมื่อ Z1 = และ Z2 =

เส้นโค้งปกติที่มีค่ามัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับเรียกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน และเนื่องจากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 ดังนั้นพื้นที่ทางขวามือที่ Z = 0 กับทางซ้ายมือ Z = 0 จะมีค่าเท่ากับ 0.5 (แบ่งครึ่งเส้นโค้งปกติ ) ลักษณะเดียวกัน ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหว่างค่า z = 0 ถึงค่า z ใด ๆ เราจะใช้ตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ซึ่งแสดงพื้นที่ให้เส้นโค้งปกติระหว่างค่า Z = 0 และ

Z = .0.00, 0.01,0.02 เช่น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง Z = 0 และ Z = 1.25 ที่ผ่านจากตารางเท่ากับ 0.3944

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่างค่า Z สองค่าใดๆ

พื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง Z = - 1.5 และ Z = - 0.3

คือ ผลต่างของพื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = - 1.5 กับพื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 0.3 เปิด ตารางพื้นที่ภายใต้เส้นโค้ง Z นั่นคือ

พื้นที่ Z = 0 และ Z = - 1.5 เท่ากับ 0.4332

พื้นที่ Z = 0 และ Z = - 0.3 เท่ากับ 0.1179

ฉะนั้น พื้นที่ระหว่าง Z = - 1.5 และ Z = - 0.4 เท่ากับ 0.4332 – 0.1179   เท่ากับ 0.3153

คิดเป็นร้อยละ 31.53

พื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง Z = 2 – 4 และ Z = -1.32

คือ ผลบวกของพื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2.4 กับพื้นที่ระหว่าง Z = 0 และ Z = 2.4 เปิดตาราง Z เปิดตาราง Z พื้นที่ Z = 0 และ Z = 2.41 คือ 0.4920

พื้นที่ Z = 0 และ - 1.32 คือ 0.4066

ฉะนั้น พื้นที่ระหว่าง Z = 2.41 และ Z = - 1.32 เท่ากับ 0.4920 + 0.4066 = 0.8986

คิดเป็นร้อยละ 89.86

พื้นที่ใต้เส้นโค้งทางขวามือของ Z = - 2.24 และ Z = 0 เท่ากับ 0.4922

ฉะนั้น พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติทางขวาของ Z = - 242

เท่ากับ 0.5 + 0.4922  = 0.9922 คิดเป็นร้อยละ 99.22

ข้อสังเกต

จากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติเท่ากับ 1 พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติระหว่าง - S ถ้า - S ซึ่ง = 0 S = 1 จะมีพื้นที่ดังนี้

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติจากจุด - S ถึง + S เท่ากับ 0.6827 หรือประมาณ 68.27% ของพื้นที่ทั้งหมดใต้เส้นโค้ง ซึ่งหมายความว่าประมาณ 68.27% ของจำนวนข้อมูลทั้งหมดตกอยู่ในช่วง - S ถึง + S

ตัวอย่างที่ 7 คะแนนสอบของนักศึกษาปริญญาตรีกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีคะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 65 และ 9 คะแนนตามลำดับ จงหาว่านักศึกษาที่สอบได้ 60 คะแนน จะมีเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร

วิธีทำ    ให้ X เป็นคะแนนสอบของนักศึกษา ( หา Z )

Z =     =  = 0.56

เปิดตาราง พื้นที่ใต้เส้นโค้งระหว่าง Z = 0.56 เท่ากับ 0.2123

ฉะนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งเมื่อ Z = 1 เท่ากับ 0.5 + 0.2123 = 0.7123

หรือ 71.23% นั้น คือ ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของคะแนน 60 คือ 71.23

ตัวอย่างที่ 8 คะแนนสอบของวิชาคอมพิวเตอร์ของนักศึกษากลุ่มหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ ค่ามัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 55 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 8 ถ้าจตุพรสอบได้คะแนน 65 คะแนน จะมีตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่เท่าไร

วิธีทำ ให้ X เป็นคะแนนสอบของจตุพร คือ 65

หาคะแนนมาตรฐาน Z =   =   = 1.25

พื้นที่ใต้กราฟ Z =< 0 เท่ากับ 0.5    พื้นที่ระหว่าง Z = 0 ถึง Z = 1.25 เท่ากับ 0.3944

ดังนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เมื่อ Z < 1.25 เท่ากับ 0.5 + 0.3944%  = 0.8944 หรือ 89.44%

แสดงว่าจำนวนนักศึกษาสอบวิชาคอมพิวเตอร์ต่ำกว่าหรือเท่ากับ 65 มีจำนวน 89.44% ดังนั้นตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ของคะแนนจตุพร 65 คะแนน คือ 89.44