ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ในการวัดการกระจายโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยนั้นมีปัญหาในเรื่องการใช้เครื่องหมายสัมบูรณ์ (Absolute Value) ซึ่งทำให้ค่าที่วัดได้ลดความเชื่อถือไป จึงมีการคิดวิธีวัดการกระจายโดยการยกกำลังสองของผลต่างระหว่างคะแนนกับมัชฌิมเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้นแล้วถอดกรณ์ที่ 2 ของส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสองเฉลี่ย เป็นวิธีการวัดการกระจายที่ เรียกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้วัดการกระจายของข้อมูล เพื่อพิจารณาว่าคะแนนแต่ละตัวจะแตกต่างไปจากค่ากลางมากน้อยเพียงใด คำนวณโดยเอาคะแนน X แต่ละตัวลบด้วยมัชฌิมเลขคณิต() ของข้อมูลชุดนั้น ซึ่ง X – แต่ละตัวอาจมีค่าเป็นลบ (X < ) หรือบวก (X>) จึงต้องยกกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบนแต่ละตัวนั้นเพื่อให้เครื่องหมายหมดไป แล้วหาค่าเฉลี่ยของผลบวกของกำลังสองของคะแนนเบี่ยงเบน คือ ซึ่งจะได้รับค่าความแปรปรวน ถ้าถอดรากที่สองของค่าความ แปรปรวนจะได้ค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวน (Variance) คือ ค่าเฉลี่ยของผลรวมทั้งหมดของคะแนนเบี่ยงเบนยกกำลังสอง ใช้สัญลักษณ์ S2 แทนความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างและ s 2 แทนความแปรปรวนของประชากรซึ่งหาได้จากสูตร

                ความแปรปรวนประชากร s 2 =

                ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง S2 =

คือ มัชฌิมเลขคณิตกลุ่มตัวอย่าง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) คือ รากที่สองของความแปรปรวน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร s ใช้สูตร

    s =

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง S ใช้สูตร

        S =

ซึ่งใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูล เพื่อการวิจัย

ในที่นี้เราจะใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในการวัดการกระจายซึ่งใช้กับจำนวนข้อมูลจำนวนไม่มากนักและนิยมใช้กันโดยทั่วไป ซึ่งคำนวณได้ดังนี้
    1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ (Ungrouped Data)

      สูตร S.D. =

      S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

      X1 คือ ข้อมูล (i = 1,2,3…N)

      คือ มัชฌิมเลขคณิต

      N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด

      ตัวอย่างที่ 17 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 1, 2, 4, 6, 8, 9

      วิธีทำ 1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต =

      = 5

    2. หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
      3.

สร้างตารางช่วยในการคำนวณ

X

( X-)

( X-)2

1

2

4

6

8

9

-4

-3

1

1

3

4

16

9

1

1

9

16

= 52

                                S.D. = =   =    =

      ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 2.9

                                    

    1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ (Grouped Data)
      2.

S.D. =

S.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

f คือ ความถี่

X คือ จุดกึ่งกลางชั้น

คือ มัชฌิมเลขคณิต

N คือ จำนวนข้อมูล

ตัวอย่างที่ 19 จากข้อมูลในตารางจงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล

คะแนน

f

x

fx

x -

(x - )2

f(x - )2

5 – 9

10 – 14

15 - 19

20 – 24

25 – 29

30 – 34

35 – 39

3

6

7

8

10

12

14

7

12

17

22

27

32

37

21

72

119

176

270

384

148

-16.8

-11.8

-6.8

-1.8

3.2

8.2

13.2

282.24

139.24

46.24

3.24

10.24

67.24

172.24

846.72

835.44

323.68

25.92

102.4

806.88

696.96

N = 50

 

วิธีทำ             1. หาค่ามัชฌิมเลขคณิต =

=

2. หาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

                    สูตร S.D =

                                    =

                                    =

                                    =

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้ คือ 8.53

        ข้อสังเกต
  1. เป็นการวัดการกระจายที่ให้ค่าลักษณะข้อมูลได้ละเอียดและดีที่สุดและเป็นการวัดการกระจายที่ใช้กันมากที่สุด
  2. เมื่อเอาค่าคงที่ (C) บวก หรือ ลบคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง
    3.
  3. เมื่อเอาค่าคงที่ (C) คูณคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้

  4. เมื่อเอาค่าคงที่ (C) หารคะแนนทุกตัวของข้อมูลชุดหนึ่ง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่จะเปลี่ยนแปลงไปดังนี้
    5.

S = Sx