การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง (Poisson distribution)

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง เป็นการแจกแจงตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ซึ่ง X เป็นตัวแปรสุ่มที่เราสนใจเกิดขึ้นภายในอาณาบริเวณ หรือ ช่วงเวลาที่กำหนดให้ X จะมีค่าเป็น 0 ,1,2,… ซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย P(X;)

สูตรที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นแบบปัวซอง คือ

P(X=x) หรือ f(x) = เมื่อ x= 0,1,2,… และ e = 2.71828 ………………….. (8)

มีค่าเฉลี่ยของ X คือ E(X) = ………………………………(9)

ค่าความแปรปรวนของ X คือ = …………………………… (10)

ตัวอย่างที่ 15 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มปัวซอง และมีการแจกแจง P(X;2) การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X

คือ f(x) = เมื่อ x = 0,1,2,…

วิธีทำ เมื่อทราบว่าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ค่าความน่าจะเป็นแบบปัวซอง

P(3;2) = = = 0.1804

จะเห็นว่าการคำนวณโดยวิธีนี้เสียเวลามาก เพื่อความสะดวกรวดเร็วจึงใช้วิธีโดยเปิดตาราง เช่น เปิดตารางค่า P(3;2) มีค่าเท่ากับ 0.1804 ซึ่งมีค่าเท่ากับการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 16 พนักงานรับโทรศัพท์ของบริษัทแห่งหนึ่งทราบจากประสบการณ์ว่า มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทโดยเฉลี่ย5 ครั้งต่อนาที ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นที่จะมีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทนั้น

ก. 2 ครั้ง ใน 1 นาที ข. มากกว่า 2 ครั้งใน 1 นาที

วิธีทำ ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทใน 1 นาที ซึ่ง X = 0,1,2,…

เป็นค่าเฉลี่ยของจำนวนครั้งที่มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทใน 1 นาที

จากโจทย์จะได้การแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;5) และมี f(x) =เมื่อ x=0,1,2,…

    1. ค่าความน่าจะเป็นที่ผู้โทรศัพท์เข้าบริษัท 2 ครั้ง ใน 1 นาที คือ P(2,5) เปิดตารางได้เท่ากับ 0.0842
    2. ค่าความน่าจะเป็นที่ผู้โทรศัพท์เข้าสำนักงานมากกว่า 2 ครั้ง ใน 1 นาที คือ P(X> 2)

ดังนั้น P(X> 2)= 1- P(X< 2) = 1-P(X=0) +P(X=1)+P(X=2)

= 1-0.0067-0.0337-0.0842 = 0.8754

ตัวอย่างที่ 17 จากประสบการณ์พบว่า พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย 3 คำ ใน 10 หน้า ถ้าให้พนักงานพิมพ์ดีดผู้นั้นพิมพ์หนังสือ 2 หน้า จงคำนวณค่าความน่าจะเป็นที่จะพิมพ์

ก. ผิด 4 คำ

ข. ไม่ผิดเลย

วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนคำผิดใน 2 หน้า ดังนั้น X=0,1,2,…

= ค่าเฉลี่ยของจำนวนคำผิดใน 10 หน้า ; คำใน 10 หน้า

เนื่องจากอาณาบริเวณของ X และ ไม่ตรงกัน ดังนั้นต้องปรับค่า ให้มีอาณาบริเวณเดียวกับ X นั่นคือ ใน 10 หน้า พนักงานพิมพ์ดีดผิดโดยเฉลี่ยเท่ากับ 3 คำ

ดังนั้น ใน 1 หน้า พนักงานพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย = คำ

และใน 2 หน้า พนักงานพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย = คำ = 0.6 คำ

ดังนั้น X มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;0.6)

  1. ค่าความน่าจะเป็นที่พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ผิด 4 คำ ใน 2 หน้า คือ P(4;0.6) เปิดตารางได้ = 0.0030
  2. ค่าความน่าจะเป็นที่พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ไม่ผิดเลย ใน 2 หน้า คือ P(0;0.6) เปิดตารางได้ = 0.5488

ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นที่จะพิมพ์ไม่ผิดเลยเท่ากับ 0.5488

ตัวอย่างที่ 18 จงค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนของ X ในตัวอย่างที่ 16

วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 16 ค่าX มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;5)

ดังนั้น E(X) = 5 และ

นั่นคือ คาดว่าจะมีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทโดยเฉลี่ยเท่ากับ 5 ครั้งใน 1 นาที และมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 5 ครั้งใน 1 นาที