บทที่ 5

ความน่าจะเป็น

( Probability )

การดำเนินชีวิตของคนเรามักจะมีเหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้นมากมาย ซึ่งจะเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจอยู่เสมอ เพื่อช่วยในการตัดสินใจต่างๆ จึงมีการประเมินหรือคาดคะเนที่อาจจะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ต่าง ๆ บางครั้งอาจจะเป็นการลองผิดลองถูก มีการใช้สามัญสำนึกในการตัดสินใจ ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถที่จะคำนวณหาค่าตัวเลขที่บ่งบอกค่าของการคาดคะเนว่ามีโอกาสจะเกิดเหตุการณ์ที่เราคาดคะเนไว้มากน้อยเพียงใด ซึ่งค่าที่กำหนดนั้นคือ ความน่าจะเป็นนั่นเอง ซึ่งสามารถที่จะคำนวณหาได้ดังรายละเอียดต่อไปนี้

การทดลองสุ่มและแซมเปิลสเปซ ( Random Experiment and Sample Space )

    1. การทดลองสุ่ม คือ การทดลองซึ่งทราบผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเป็นอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถที่จะทราบผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดอะไรขึ้น เนื่องจากในการทดลองแต่ละครั้งอาจเกิดผลลัพธ์ ( Outcome ) หลายอย่าง เช่น
                2. แซมเปิลสเปซ ( Sample Space ) คือผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดหรือเซต    ของมวลสมาชิก ( Elements ) ที่เป็นผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมดของการทดลองสุ่มใด ๆ ซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ S ในการทดลองสุ่มครั้งหนึ่งอาจจะมีแซมเปิลสเปซหลายอันก็ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่สนใจ

ตัวอย่างที่ 1 ในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ จำนวน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือ การเกิดหัว (H) กับการเกิดก้อย (T) จะเขียนแซมเปิลสเปสได้ดังนี้

S1 = {H,T}

ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 1 ครั้ง แต้มที่ปรากฏแซมเปิลสเปสคือ

S1 = {1,2,3,4,5,6}

ถ้าสนใจผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นว่าจะเกิดแต้มคู่ แซมเปิลสเปสคือ

S1 = {2,4,6} 

            3.  เหตุการณ์ ( Event ) คือ เซตย่อยหรือสับเซต ( Subset ) ของแซมเปิลสเปส ( Sample Space ) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E

ตัวอย่างที่ 3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก จำนวน 1 ครั้ง และสนใจผลลัพธ์คือแต้มที่จะเกิดขึ้นจงหา

  1. แซมเปิลสเปส S
  2. เหตุการณ์ที่ได้แต้มที่หารด้วย 2 ลงตัว ( E2 )
  3. เหตุการณ์ที่ได้แต้มคี่ ( E2 )

วิธีทำ

1. S = {1,2,3,4,5,6 }

2. E1 = {4,6}

3. E3 = {1,2,3}

ตัวอย่างที่ 4 ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักศึกษากลุ่มหนึ่ง ซึ่งได้คะแนนสูงสุดเท่ากับ 50 คะแนนต่ำสุด 20 คะแนน

    1. แซมเปิลสเปส (S) คือ { 20 < X < 50} เมื่อ X เป็นค่าหนึ่ง ๆ
    2. เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้น้อยกว่า 30

      E1 = { 20 < X < 30}

    3. เหตุการณ์ที่นักศึกษาได้คะแนนสูงกว่า 40

            E2 = {40 < X < 50}

ความน่าจะเป็น ( Probability )

ในการทดลองสุ่มใด ๆ ที่สามารถได้ผลลัพธ์จากการทดลอง และผลที่ได้แต่ละอย่างนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน ( Equally Likely ) และเรียกอัตราส่วนระหว่างจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ที่สนใจกับจำนวนสมาชิกของผลที่ได้ว่า “ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ”

ถ้า N เป็นจำนวนสมาชิของแซมเปิลสเปส S ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน และ n เป็นสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S แล้วความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เท่ากับ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) หรือ P(A) เมื่อ E คือเหตุการณ์ประกอบใด ๆ

P(E) = ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E

N = จำนวนสมาชิกของ E ( Event )

S = แซมเปิลสเปส

N = จำนวนสมาชิกของ S

ตัวอย่างที่ 5

ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ จำนวน 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกก้อยทั้งสองเหรียญ

วิธีทำ ผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นทั้งหมด S = {HH,HT,TH,TT}

N(S) = 4

E เป็นเหตุการณ์ที่เหรียญจะออกก้อย ทั้ง 2 เหรียญ

E = {TT}

N(E) = 1

สูตร

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกก้อยทั้งสองเหรียญ คือ

ค่าของความน่าจะเป็น P(E)

ความน่าจะเป็นคือ ค่าที่จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจนั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพี่ยงใด ซึ่งค่าที่ได้คือ

P (E) มีค่าเท่ากับ 0 แสดงว่าเหตุการณ์ E ไม่มีโอกาสเกิดขึ้น

P (E) มีค่าเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

P (E) มีค่าเท่ากับ แสดงว่าเหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นและไม่เกิดเท่า ๆ กัน (50%)

ถ้าได้ค่า P (E1) = และ P (E2 ) = แสดงว่าเหตุการณ์ E1 จะมีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E2

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

  1. ความน่าจะเป็น E ใดๆ จะมีค่า 0 ถึง 1 เสมอ คือ
  2. ความน่าจะเป็นของแซมเปิลสเปส S จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ คือ P (S) = 1 หรือ ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ทั้งหมดของแซมเปิลสเปซ S แล้ว

    P (E1) + P (E2) เท่ากับ P (S) หรือเท่ากับ 1

  3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นเซตว่างมีค่าเท่ากับ 0 P() = 0

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้น

  1. เหตุการณ์ที่แยกกันโดยเด็ดขาด ( Mutually Exclusive Event )

    คือเหตุการณ์ในการทดลองใด ๆ ถ้าใช้เหตุการณ์ E1 และ E2 แล้ว E 1 และ E2 จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมๆ กันได้ในการทดลองแต่ละครั้ง จะได้ค่า

    เมื่อ S คือผลลัพธ์ที่เกิดขึ้น

    กฎข้อที่ 1 ถ้า E และ E เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันแล้วจะได้ว่า

    =

    หรือ =

    ตัวอย่างที่ 6

    ในการโยนเหรียญ 2 เหรียญ 1 ครั้ง จงคำนวณหาความน่าจะเป็นที่ จะออกหัวหรือก้อยทั้ง 2 เหรียญ

    วิธีทำ S {HH,HT,TH,TT}, n(S) = 4

    ให้ E1 คือเหตุการณ์ที่ออกหัวทั้ง 2 เหรียญ

    ให้ E2 คือเหตุการณ์ที่ออกก้อยทั้ง 2 เหรียญ

    ให้ E1 กับ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

    = = =

    ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวหรือก้อยทั้งคู่ คือ 0.5

  2. เหตุการณ์ที่ไม่แยกจากันโดยเด็ดขาด ( Non – Mutually Exclusive Event )

    ในการทดลองที่มีเหตุการณ์ E1 และ E2 มีเหตุการณ์ร่วมกันอยู่ และเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S ซึ่งจะได้

    กฎข้อที่ 2 ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ที่เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S แล้ว

    ตัวอย่างที่ 7

    ในการสอบถามนักศึกษาจำนวน 45 คน ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์และบัญชีปรากฏว่านักศึกษา 20 คน ชองเรียนคณิตศาสตร์ นักศึกษา 25 คนชอบเรียนบัญชีและนักศึกษา จำนวน 10 คน ชอบเรียนคณิตศาสตร์และบัญชี จงหาความน่าจะเป็นที่นักศึกษาจะชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือบัญชี

    วิธีทำ ให้ E1 เป็นเหตุการณ์ที่นักศึกษาเรียนคณิตศาสตร์

    E2 เป็นเหตุการณ์ที่นักศึกษาชอบเรียนวิชาบัญชี

    จากกฎขอที่ 2

    = =

    ความน่าจะเป็นของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร์หรือบัญชีคือ 0.77

  3. คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ( Complementary Event )

ถ้าให้ E เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นและเป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S

Complementary ของ E1 เขียนแทนด้วย E1 ซึ่งค่า เท่ากับ S

                กฎข้อที่ 3  ถ้าให้ E1 เป็น Complementary ของ E1 แล้ว

               

ตัวอย่างที่ 8

สมชายมีลูกแก้วลักษณะเดียวกัน 6 ลูก อยู่ในกล่อง เป็นสี แดง สีน้ำเงิน และสีขาว อย่างละ 2 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่สมชายจะหยิบลูกแก้วขึ้นมาหนึ่งลูก แล้ว

  1. ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว
  2. ไม่ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว

วิธีทำ ให้ E เป็นเหตุการณ์การณ์ที่หยิบได้สีแดง

E เป็นเหตุการณ์ที่หยิบได้สีขาว

ในการหยิบลูกแก้วหนึ่งลูกยอมจะได้ 1 สี ฉะนั้น E และ E จะเกิดพร้อมกันไม่ได้

เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

= =

    =

ความน่าจะเป็นที่สมชายจะหยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ 0.66

2. เนื่องจากเหตุการณ์ที่ไม่ได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ คอมพลีเมนต์ของ หรือ

= 1 - = 1 - 0.66  = 0.34

ความน่าจะเป็นที่สมชายจะไม่หยิบได้ลูกแก้วสีแดงหรือสีขาว คือ 0.34

 

********************************************

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

1. ตัวแปรสุ่ม (Random Variable)

ตัวแปรสุ่ม คือ ฟังก์ชันหรือเงื่อนไขที่ทำการเปลี่ยนเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ที่สามารถเกิดขึ้นจากการทดลองหรือการสุ่มสิ่งตัวอย่างให้เป็นตัวเลข ซึ่งตัวแปรสุ่มนี้นิยมเขียนแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษ เช่น X, Y, Z เป็นต้น

ตัวอย่าง 1 จงเขียนตัวแปรสุ่มของจำนวนหัวจากการโยนเหรียญ 3 อัน 1 ครั้ง

วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนหัว และกำหนดให้ H เป็นหัว และ T เป็นก้อย

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

ดังนั้น X = 0, 1, 2, 3

ตัวอย่าง 2 ร้านค้าแห่งหนึ่งซื้อตู้เย็นมา 2 ตู้ จงเขียนค่าของตัวแปรสุ่ม X ว่าร้านค้าจะมีโอกาสได้ตู้เย็นที่มีตำหนิ ค่าใดบ้าง

วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่ม และ เหตุการณ์ที่ทางร้านจะได้ตู้เย็นที่มีตำหนิมี 3 กรณี ดังนี้

กรณี 1 ได้ตู้เย็นตำหนิ 2 ตู้ ดังนั้นจึงให้ตัวแปร X = 2

กรณี 2 ได้ตู้เย็นตำหนิ 1 ตู้ ดังนั้นจึงให้ตัวแปร X = 1

กรณี 3 ได้ตู้เย็นตำหนิ 0 ตู้ ดังนั้นจึงให้ตัวแปร X = 0

ดังนั้น X = 0, 1, 2, 3

ตัวอย่าง 3 ร้านค้าแห่งหนึ่งซื้อตู้เย็น 2 ตู้ ไปจำหน่าย ในการจำหน่ายนั้น ถ้าตู้เย็นมีตำหนิ

ร้านค้าจะขาดทุนตู้ละ 200 บาท (นั่นคือกำไร – 200 บาท) ถ้าตู้เย็นไม่มีตำหนิทางร้านจะได้กำไรตู้ละ 1,000 บาท จงเขียนค่าของตัวแปรสุ่ม X ที่ทางร้านจะได้กำไรจากการขายตู้เย็นมีค่าใดบ้าง

วิธีทำ ให้ตัวแปร X เป็นกำไรจากการขายตู้เย็น 2 ตู้

ถ้าทางร้านได้ตู้เย็นไม่มีตำหนิทั้ง 2 ตู้ จะได้กำไร X = 2 ´ 1,000 = 2,000 บาท

ถ้าทางร้านได้ตู้เย็นมีตำหนิ 1 ตู้ จะได้กำไร X = 1,000 – 200 = 800 บาท

ถ้าทางร้านได้ตู้เย็นมีตำหนิทั้ง 2 ตู้ จะได้กำไร X = 2 ´ - 200 = - 400 บาท

ดังนั้น X = - 400, 800, 2,000

ตัวแปรสุ่มแบ่งได้ 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าตัวเลขที่เขียนแทนตัวแปรสุ่มนั้น ๆ เช่นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

1. ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ( Discrete random variable )

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องถ้าค่าทั้งหมดของ X มีจำนวนจำกัด ถ้ามีจำนวนอนันต์

ค่าแต่ละค่าจะต้องแตกต่างกันอย่างชัดแจ้ง โดยมากตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องจะบ่งบอกถึงจำนวนที่ได้จากการนับ     เช่น    จำนวนตู้เย็นที่มีตำหนิกำไรที่ได้จากการขายตู้เย็น   จำนวนนักศึกษาสถาบันราชภัฎกาฬสินธุ์เป็นต้น

2. ตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ( Continuous random variable )

        ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ค่าของ X จะมีค่าต่อเนื่องกันจนไม่สามารถจะทราบค่าที่บอก

ตำแหน่งของแต่ละจุดได้ ซึ่งจะเป็นตัวแปรสุ่มที่บ่งบอกถึงค่าที่ได้จากการชั่ง ตวง วัด เช่น น้ำหนักของเด็กแรกเกิด ปริมาณน้ำมันที่ใช้ในจังหวัดกาฬสินธุ์ ความสูงของคนไทยอายุ 20 ปีขึ้นไป เป็นต้น

2. ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

    ในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง ค่าความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของตัวแปรสุ่ม ๆ แต่ละตัวจะไม่เท่ากันซึ่งฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มนั้นมี 2 ชนิด คือฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง กับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

2.1 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และค่าทั้งหมดของ X คือ x1, x2, x3, … , xN แล้วP(X=x) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X ถ้า P(X=x) มีคุณสมบัติดังนี้

1. P(X=x) ³ 0 สำหรับทุกค่าของ x1, x2, x3, … , xN

2. (X = x) = 1

ตัวอย่าง 4 ถ้า X คือจำนวนหนังสือพิมพ์ที่เด็กขายหนังสือพิมพ์ผู้หนึ่งขายได้ในหนึ่งชั่วโมงและฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ f(x) = เมื่อ x = 1, 2 , 3, …, 10 จงหาค่าของ

ก. P (x = 4)

ข. P(2)

ค. P(2 < x < 5)

ง. P(x )

จ. P(x > 4)

วิธีทำ   . จากโจทย์กำหนดให้ X เป็นจำนวนหนังสือที่เด็กขายได้ใน 1 ชั่วโมง คือ

X = 1, 2, 3, … , 10 ดังนั้น X จึงเป็นตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่อง

เนื่องจาก P (X=x) = f(x)

ดังนั้น P(X=4) = f(4) = = 0.082

ข. P(2) คือค่าความน่าจะเป็นที่เด็กขายหนังสือพิมพ์ได้ 2, 3, 4, 5 ฉบับซึ่งเป็น

เหตุการณ์ที่เป็นอิสระดังนั้น P(2) = P(X=2) +P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

                                                                    = +++

ค. P (2 < x < 5) = P(X=3) + P(X=4) =

ง. P(x ) = P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4) =

จ. P(x > 4) = 1-P(X4) = 1-

ตัวอย่าง 5 ถ้า X คือจำนวนผู้โดยสารเครื่องบินขนาด 4 ที่นั่ง จากจังหวัดหนึ่งไปยังอีกจังหวัดหนึ่ง และมีฟังก์ชันความน่าจะเป็น X คือ f(x) = 0.1 เมื่อ x=1 , f(x) = 0.3

เมื่อ x = 2 , f(x) = 0.2 เมื่อ x=3 , f(x) = 0.4 เมื่อ x=4

จงคำนวณหาค่าของ        1. P(X=2)

2. P(X)

3. P()

วิธีทำ เนื่องจากฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X มีค่าเมื่อ X =1,2,3,4 ดังนั้นจึงเป็นค่าของ

ตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง

1. P(X=2) = f(2) = 0.3

2. P(X) = P(X=2)+P(X=3) +P(X=4) = 0.3+0.2+0.4 = 0.9

3. P() = P(X=2)+ P(X=3) = 0.3+0.2 = 0.5

ตัวอย่าง 6 บริษัทแห่งหนึ่งมีลูกจ้าง 150 คน จากทะเบียนประวัติของลูกจ้าง พบว่าลูกจ้างมีวุฒิทางการศึกษาดังนี้ ต่ำกว่าปริญญาตรี 90คน ปริญญาตรี 36 คน ปริญญาโท 18 คน ปริญญาเอก 6 คน จงคำนวณหาฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X

วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มวุฒิการศึกษาของลูกจ้าง ดังนั้น จึงให้

X = 0 ถ้าลูกจ้างมีวุฒิการศึกษาต่ำกว่าปริญญาตรี X=1 ถ้าลกจ้างมีวุฒิการศึกษาปริญญาตรี

X= 2 ถ้าลูกจ้างมีวุฒิการศึกษาปริญญาโท X= 3 ถ้าลูกจ้างมีวุฒิการศึกษาปริญญาเอก

เนื่องจาก X มีค่าได้ 4 ค่า คือ 0,1,2,3 ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็น f(x) หรือ P(X=x)

จากสูตร P(E) =

ดังนั้น P(X=0) =f(0) = P(X=1) = f(1) =

ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X คือ f(x) = 0.60 เมื่อ x=0 , f(x) = 0.24 เมื่อ x=1,

f(x) = 0.12 เมื่อ x=2 , f(x) = 0.04 เมื่อ x=3

 

2.2 ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง แล้ว X จะมีค่าความจริงในช่วงที่ต่อเนื่องกัน เช่น ความสูง ของนักศึกษาโปรแรมคณิตศาสตร์ (ปริมาณน้ำฝน และระยะเวลาฯลฯ

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X หรือบางครั้งเรียก ฟังก์ชันความหนาแน่นของ X

(Probability Density Function) หรือ p.d.f ของ X คือ f(x) เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่ม และค่าทั้งหมดของ X คือ แล้ว f(x) เป็นฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X ถ้า f(x) มีคุณสมบัติดังนี้

    1. f(x) สำหรับทุกค่าของ

ถ้า a และ b เป็นค่า 2 ค่า และ a b ซึ่ง P(a X b) =

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่องเราจะเห็น

ว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X จะมีลักษณะใดก็ได้ แต่ต้องอยู่เหนือแกน X และมีพื้นที่ใต้เส้นโค้งจะต้องเท่ากับหนึ่ง การหาค่า P(a X b) ก็คือการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง เมื่อ X มีค่าตั้งแต่ a ถึง b

3. ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม (Expected Value of Random Variable)

ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง X มีค่าเป็น x1, x2, x3, … , xN และฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ X เมื่อ P(X=x) แล้วค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่ม X นี้บางทีเรียกได้อีกอย่าง คือ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม X ซึ่งใช้สัญลักษณ์ดังนี้

E (X) = …………………………………………………(1)

หรือ E (X) = …………………………………………………(2)

เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่ม และฟังก์ชันความน่าจะเป็น ของ X คือ f(x) เรามีกฎของค่าคาดหวังบางกฎที่สามารนำมาใช้คำนวณค่าคาดหวังได้ มีดังนี้

    1. ถ้า a เป็นค่าคงที่ แล้ว E(a) = a เช่น E(3) = 3
    2. ถ้า a เป็นค่าคงที่แล้ว E( a x) = a E(x) เช่น E (3x) = 3 E(x)
    3. ถ้า u(X) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X แล้ว X เป็นตัวแปรสุ่ม ชนิดไม่ต่อเนื่อง ซึ่งมีฟังก์ชันความน่าจะเป็น

      f(x) แล้ว E เช่น E(2x+1) =

    4. ถ้า u(X) และ w(X) เป็นฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม X แล้ว EE

เช่น E(3x+ 2x) = E(3x) + E(2x)

ตัวอย่าง 7 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม E(X) = 3 และ E(x) = 25 ให้คำนวณหาค่าของ

ก. ค่าเฉลี่ยของ 2X + 4

ข. E(X-2X+4)

ค. E[X- E(X)]

วิธีทำ ก. ค่าเฉลี่ยของ 2X + 4 คือ E(2X + 4) = E(2X) + E(4) = 2E(X)+4 = 2(3)+4 = 10

ข. E (X-2X+4) = E(X) –E(2X) + E(4) = 25 +2(3)+4

ค. E[X- E(X)] = E(X-3) = E(X-6X+9) = E(X)-E(6X)+ E(9)

    = 25-6(3)+9 = 16

ตัวอย่าง 8 ร้านขายเสื้อสตรีแห่งหนึ่ง วางแผนผลิตเสื้อให้เพียงพอกับการจำหน่ายที่ลูกค้าเข้ามาเลือกชมเสื้อในร้านขณะเดียวกันก็ไม่ต้องการให้เหลือค้างมากเกินไป ดังนั้นผู้จัดการจึงต้องการทราบตัวเลขโดยเฉลี่ยของลูกค้าที่เข้ามาเลือกซื้อเสื้อแต่ละวันว่ามีแนวโน้มที่จะซื้อเสื้อกลับไปกี่ชุด เพื่อนำมาใช้ในการวางแผนการผลิต ทั้งนี้ทางร้านมีข้อมูลการเลือกซื้อเสื้อของลูกค้าที่เคยเข้ามาเลือกชมและซื้อกลับไปในช่วงระยะเวลาหนึ่งแล้ว และได้นำมาวิเคราะห์ได้ข้อมูลดังนี้

 

จำนวนเสื้อที่ลูกค้าแต่ละคนเลือกซื้อไปต่อครั้ง (ชุด)

0

1

2

3

4

ความน่าจะเป็นในการซื้อ

0.11

0.37

0.35

0.12

0.05

 

วิธีทำ ให้ X=0 , 1 , 2 , 3, 4 และ P(X) = 0.11, 0.37 , 0.35 , 0.12 , 0.05

จากสูตร E (X) =

แทนค่าในสูตร E(X) = (0) (0.11)+(1)(0.37)+ (2) (0.35) + (3)(0.12) + (4) (0.05) = 1.63

ดังนั้น ลูกค้าที่เข้ามาเลือกชมเสื้อในร้านนี้จะซื้อกลับไปโดยเฉลี่ยคนละ 2 ชุด

4. ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม (Variance of Random Variable)

ความแปรปรวน ของตัวแปรสุ่ม X เป็นค่าที่บอกให้ทราบว่าการกระจายของตัวแปรสุ่ม X นั้นมีการกระจาย โดยเฉลี่ยมีมากหรือน้อย ใช้สัญลักษณ์ ดังนี้

= E [X-E(X)] = …………………………………(1)

หรือ = E[X] – [E(X)] = …………………………(2)

เนื่องจาก X เป็นตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง และค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X มีคุณสมบัติดังนี้

1. =

2. ถ้า มีค่ามากแสดงว่าค่าของตัวแปรสุ่ม X มีการกระจายจากค่าเฉลี่ย ของ X มากและถ้ามีค่าน้อยแสดงว่าค่าของตัวแปรสุ่มมีการกระจายจากค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มน้อย ถ้า = 0 แสดงว่าไม่มีค่าความแปร

ปรวนเลย คือค่าทุกค่าของตัวแปรสุ่มมีค่าเท่ากัน

กฎการคำนวณค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มมีดังนี้

    1. ถ้า a เป็นค่าคงที่ ค่าความแปรปรวนของ a คือ = 0 เช่น =0
    2. ถ้า a เป็นค่าคงที่ ค่าความแปรปรวนของ a X คือ = a เช่น = 9
    3. ถ้า u(X) เป็นค่าคงที่ ค่าความแปรปรวนของ X แล้ว =E [u(X)- E[u(X)]

      เช่น

    4. ถ้า a , b เป็นค่าคงที่แล้ว เช่น = 9

ตัวอย่าง 9 จงหาค่าความแปรปรวน ของจำนวนผู้โดยสารเครื่องบินจากข้อมูลต่อไปนี้

x 1 2 3 4
f(x) 0.1 0.3 0.2 0.4

 

 

วิธีทำ จาก = E[X-E(X)]

แต่ E(X) = = 1(0.1) + 2(0.3) + 3(0.2) + 4(0.4) = 2.9

แทนค่า = E[X-2.9] =

= (1-2.9)(0.1) + (2-2.9)(0.3)+ (3-2.9)(0.2) + (4-2.9)(0.4) = 1.09

ตัวอย่าง 10 จงหาค่าความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนเครื่องปรับอากาศที่บริษัทขายได้ในแต่ละวัน ถ้าจำนวนเครื่องปรับอากาศที่บริษัทขายได้ช่วง 100 วัน ที่ผ่านมามีดังนี้

จำนวนเครื่องที่ขายได้ในแต่ละวัน

0

1

2

3

4

5

จำนวนวันที่ขายได้ 6 18 22 25 18 11

วิธีทำ ให้ X เป็นจำนวนเครื่องปรับอากาศ และ f(x) เป็นความน่าจะเป็นที่บริษัทขายได้

X 0 1 2 3 4 5
x 0 1 4 9 6 25
f(x) 6/100 18/100 22/100 25/100 18/100 11/100
xf(x) 0 18/100 44/100 75/100 72/100 55/100 E(X) = 264/100
xf(x) 0 18/100 88/100 255/100 288/100 275/100 E(x) = 894/100

นั่นคือค่าเฉลี่ยที่ขายได้ในแต่ละวัน เท่ากับ 264/100 = 2.64 ซึ่งประมาณ 3 เครื่องต่อวัน

ค่าความแปรปรวนโดยเฉลี่ย = E[X] – E[(X)] = 894/100 – [264/100]

                                                      = 8.94 – 6.9696 = 1.9704

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 1.4037

        **ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นจองตัวแปรสุ่ม มีหลายรูปแบบ ทั้งต่อเนื่อง และไม่ต่อเนื่อง ตามเงื่อนไขของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เช่นการแจกแจงแบบทวินาม การแจกแจงแบบปัวส์ซอง การแจกแจงแบบปกติฯลฯ

5. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม ( Binomial distribution)

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง เขียนสัญลักษณ์ แทนคือ b (X; n, p) ซึ่งสามารถคำนวณได้ภายใต้เงื่อนไขดังต่อไปนี้

    1. การทดลองหรือการเลือกสิ่งตัวอย่างจะต้องทำซ้ำ ๆ กันหลายครั้ง โดยทั่วไปจะสมมติว่า การทดลองหรือสุ่มสิ่งตัวอย่าง n ครั้ง
    2. การทดลองหรือการเลือกสิ่งตัวอย่างแต่ละครั้งจะมีเหตุการณ์เกิดขึ้นได้เพียง 2 เหตุการณ์

      คือเหตุการณ์ที่เราสนใจและเหตุการณ์ที่เราไม่สนใจ

    3. การทดลองหรือการเลือกสิ่งตัวอย่าง แต่ละครั้งจะต้องเป็นอิสระต่อกัน ในการสุ่มเลือกสิ่ง

                   ตัวอย่างเราพบว่าถ้าสุ่มตัวอย่างแบบคืนที่ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากการเลือกแต่ละครั้งจะต้อง       เป็นอิสระต่อกันแต่ถ้าสุ่มเลือกสุ่มตัวอย่างแบบไม่คืนที่ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากการสุ่มแต่ละครั้งไม่เป็นอิสระต่อกัน

               4. ค่าความน่าจะเป็นที่จะได้สิ่งที่เราสนใจจากการทดลอง หรือสุ่มเลือกสิ่งตัวอย่างแต่ละครั้งจะ     ต้องมีค่าคงที่ เท่ากับ p และค่าความน่าจะเป็นที่จะได้สิ่งที่เราไม่สนใจจะมีค่าคงที่เช่นกันและจะเท่ากับ q ซึ่งค่าดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับ 1 – pและสูตรที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นแบบทวินาม ดังนี้

P(X=x) หรือ f(x) = Cp(1 - p) เมื่อ x=0,1,2,…,n ………………………….(5)

มีค่าเฉลี่ยของ X คือ E(X) = np …………………………..(6)

และค่าความแปรปรวนของ X คื  = npq …………………………..(7)

 

ตัวอย่าง ที่11 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มทวินาม และ X มีการแจกแจง b(X; 5 , 0,1) การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X คือ f(x) = C(0.1)(0.9) เมื่อ x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

วิธีทำ เมื่อทราบการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ค่าความน่าจะเป็น X มีค่าเท่ากับค่าหนึ่งจะหาได้โดยแทนค่าดังกล่าวในการแจกแจงความน่าจะเป็นของ X เช่น

P(X=0) หรือ f(0) = C(0.1)(0.9) = 0.5905

P(X=2) หรือ f(2) = C(0.1)(0.9) = 0.0729

จากการคำนวณค่าความน่าจะเป็นดังกล่าวอาจจะเสียเวลา มาก เพื่อความสะดวกรวดเร็ว เราจึงเปิดหาค่าจากตารางค่าความน่าจะเป็นในภาคผนวกแทน โดยที่ตารางการแจกแจงแบบทวินาม จะกำหนดค่า n, x และp เช่นเปิดตารางค่า b(0;5,0.1) มีค่าเท่ากับ 0.5905 และเปิดตารางค่า b(2;5,0.1) มีค่าเท่ากับ 0.0729

ตัวอย่างที่ 12 บริษัทแห่งหนึ่งทราบจากประสบการณ์ ว่า ร้อยละ 15 ของเช็คที่ได้รับจากผู้แทนจำหน่ายจะเป็นเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงิน ถ้าวันหนึ่งบริษัทดังกล่าวได้รับเช็คจากผู้แทนจำหน่าย 12 ใบ ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินจำนวน

ก. 2 ใบ ข. ระหว่าง 3 และ 6 ใบ ค. ตั้งแต่ 3 ถึง 6 ใบ ง.อย่างมาก 2 ใบ

จ. มากกว่า 3 ใบ ฉ. ไม่ได้เช็คที่ธนาคารปฏิเสธการาจ่ายเงิน

วิธีทำ บริษัทได้รับเช็คในวันหนึ่ง 12 ใบ และเหตุการณ์ที่เราสนใจ คือ เช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงิน และเช็คที่ธนาคารไม่ปฏิเสธการจ่ายเงิน เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจากเช็คแต่ละใบเป็นอิสระต่อกัน เพราะเช็คแต่ละใบไม่ได้ออกโดยผู้แทนจำหน่ายคนเดียวกัน และค่าความน่าจะเป็นที่เช็คแต่ละใบจะเป็นเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงิน (p) เท่ากับ = 0.15

ดังนั้น X คือตัวแปรสุ่มของจำนวนเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงิน โดยที่ X = 0,1,2,3,…,12

ซึ่ง X จะเป็นตัวแปรสุ่มแบทวินาม ที่มีการแจกแจง b(X; 12 ,0.5)

    1. ความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินจำนวน 2 ใบ

      เปิดตารางที่ n = 12 , x= 2, p= 0.15 จะได้ b(2 ; 12, 0.15 ) = 0.2924

    2. ความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินระหว่าง 3 ถึง 6 ใบ คือ

      P(3< x < 6) = b(4; 12, 0.15) + b(5;12, 0.15) = 0.0683+0.0193 = 0.0876

    3. ความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินตั้งแต่ 3 ถึง 6 ใบ คือ

      P(3) = b(3;12,0.15)+b(4;12,0.15)+b(5;12,0.15)+b(6;12,0.15)

      = 0.1720+0.06083+ 0.0193+0.0040 = 0.2636

    4. ความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินอย่างมาก 2 ใบ

      P(X2) = P(X=0) + P(X=1) +P(X=2) = 0.1422 + 0.3012 + 0.2924 = 0.7358

    5. ความน่าจะเป็นที่บริษัทจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินมากกว่า 3 ใบ

      P(X) = 1-P(X< 3) = 1- [P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)]

      = 1- [0.1422 + 0.3012 + 0.2924 + 0.1720 ] = 1-0.9078 = 0.0922

    6. ค่าความน่าจะเป็นที่บริษัทจะไม่ได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงิน

P(X=0) = 0.1422

ตัวอย่างที่ 13 รายงานสมาคมโฆษณาแห่งหนึ่งแจ้งว่า 60% ของลูกค้าที่ไปรับประทานอาหารตามร้านอาหารจะเลือกร้านตามโฆษณาทางวิทยุ ถ้าเจ้าของร้านอาหารแห่งหนึ่งซึ่งทำการโฆษณา อาหารทางวิทยุ สุ่มเลือกลูกค้าที่นั่งรับประทานอาหารจำนวน 10 คน ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นที่ลูกค้าที่ไปรับประทานอาหารเลือกร้านตามโฆษณาทางวิทยุจำนวน 4 คน

วิธีทำ ให้ X เป็นจำนวน ลูกค้าที่ไปรับประทานอาหารเลือกร้านตามโฆษณาทางวิทยุ

X = 0, 1, 2, … , 10 ซึ่ง X เป็นตัวแปรสุ่มทวินาม มีการแจกแจงb (X; 10,0.6)

แต่เนื่องจากตาราง มีค่า p น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.5 เท่านั้น ดังนั้นจึงต้องเปลี่ยนเหตุการณ์ที่สนใจเป็นลูกค้าไปรับประทานอาหารไม่ได้เลือกร้านตามโฆษณาทางวิทยุ

ดังนั้น X เป็นจำนวนลูกค้าที่ไปรับประทานอาหารไม่ได้เลือกร้านตามโฆษณาทางวิทยุ

X = 0,1,2,…,10 และ p = 1-0.6 = 0.4 จึงเปิดตารางค่าของ b (6; 10, 0.4 ) = 0.1115

นั่นคือ ค่าความน่าจะเป็นที่ลูกค้าเลือกร้านรับประทานอาหาร ตามคำโฆษณา ทางวิทยุจำนวน 4 คน เท่ากับ 0.115

ตัวอย่างที่ 14 จากโจทย์ในตัวอย่างที่ 12 จงคำนวณหาค่าเฉลี่ย และค่าความแปรปรวน ของ X

วิธีทำ X คือจำนวนเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินที่บริษัทได้รับ (0,1,2,3,…,12)

และ X จะเป็นตัวแปรสุ่มทวินาม ที่มีการแจกแจง b( X; 12,0.15)

ดังนั้น E(X) = np = 12 (0.15) = 1.8

= npq = 12 (0.15) = 1.53

นั่นคือบริษัทคาดว่าจะได้รับเช็คที่ธนาคารปฏิเสธการจ่ายเงินจำนวน 1.8 ใบ และมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 1.53 ใบ

6. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง (Poisson distribution)

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปัวซอง เป็นการแจกแจงตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่อง ซึ่ง X เป็นตัวแปรสุ่มที่เราสนใจเกิดขึ้นภายในอาณาบริเวณ หรือ ช่วงเวลาที่กำหนดให้ X จะมีค่าเป็น 0 ,1,2,… ซึ่งเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย P(X;)

สูตรที่ใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นแบบปัวซอง คือ

P(X=x) หรือ f(x) = เมื่อ x= 0,1,2,… และ e = 2.71828 ………………….. (8)

มีค่าเฉลี่ยของ X คือ E(X) = ………………………………(9)

ค่าความแปรปรวนของ X คือ = …………………………… (10)

ตัวอย่างที่ 15 ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่มปัวซอง และมีการแจกแจง P(X;2) การแจกแจงความน่าจะเป็นของ X

คือ f(x) = เมื่อ x = 0,1,2,…

วิธีทำ เมื่อทราบว่าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X ค่าความน่าจะเป็นแบบปัวซอง

P(3;2) = = = 0.1804

จะเห็นว่าการคำนวณโดยวิธีนี้เสียเวลามาก เพื่อความสะดวกรวดเร็วจึงใช้วิธีโดยเปิดตาราง เช่น เปิดตารางค่า P(3;2) มีค่าเท่ากับ 0.1804 ซึ่งมีค่าเท่ากับการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 16 พนักงานรับโทรศัพท์ของบริษัทแห่งหนึ่งทราบจากประสบการณ์ว่า มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทโดยเฉลี่ย5 ครั้งต่อนาที ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นที่จะมีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทนั้น

ก. 2 ครั้ง ใน 1 นาที ข. มากกว่า 2 ครั้งใน 1 นาที

วิธีทำ ให้ X เป็นจำนวนครั้งที่มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทใน 1 นาที ซึ่ง X = 0,1,2,…

เป็นค่าเฉลี่ยของจำนวนครั้งที่มีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทใน 1 นาที

จากโจทย์จะได้การแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;5) และมี f(x) =เมื่อ x=0,1,2,…

    1. ค่าความน่าจะเป็นที่ผู้โทรศัพท์เข้าบริษัท 2 ครั้ง ใน 1 นาที คือ P(2,5) เปิดตารางได้เท่ากับ 0.0842
    2. ค่าความน่าจะเป็นที่ผู้โทรศัพท์เข้าสำนักงานมากกว่า 2 ครั้ง ใน 1 นาที คือ P(X> 2)

ดังนั้น P(X> 2)= 1- P(X< 2) = 1-P(X=0) +P(X=1)+P(X=2)

= 1-0.0067-0.0337-0.0842 = 0.8754

ตัวอย่างที่ 17 จากประสบการณ์พบว่า พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย 3 คำ ใน 10 หน้า ถ้าให้พนักงานพิมพ์ดีดผู้นั้นพิมพ์หนังสือ 2 หน้า จงคำนวณค่าความน่าจะเป็นที่จะพิมพ์

ก. ผิด 4 คำ

ข. ไม่ผิดเลย

วิธีทำ ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มของจำนวนคำผิดใน 2 หน้า ดังนั้น X=0,1,2,…

= ค่าเฉลี่ยของจำนวนคำผิดใน 10 หน้า ; คำใน 10 หน้า

เนื่องจากอาณาบริเวณของ X และ ไม่ตรงกัน ดังนั้นต้องปรับค่า ให้มีอาณาบริเวณเดียวกับ X นั่นคือ ใน 10 หน้า พนักงานพิมพ์ดีดผิดโดยเฉลี่ยเท่ากับ 3 คำ

ดังนั้น ใน 1 หน้า พนักงานพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย = คำ

และใน 2 หน้า พนักงานพิมพ์ผิดโดยเฉลี่ย = คำ = 0.6 คำ

ดังนั้น X มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;0.6)

  1. ค่าความน่าจะเป็นที่พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ผิด 4 คำ ใน 2 หน้า คือ P(4;0.6) เปิดตารางได้ = 0.0030
  2. ค่าความน่าจะเป็นที่พนักงานพิมพ์ดีดจะพิมพ์ไม่ผิดเลย ใน 2 หน้า คือ P(0;0.6) เปิดตารางได้ = 0.5488

ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นที่จะพิมพ์ไม่ผิดเลยเท่ากับ 0.5488

ตัวอย่างที่ 18 จงค่าเฉลี่ย และความแปรปรวนของ X ในตัวอย่างที่ 16

วิธีทำ จากตัวอย่างที่ 16 ค่าX มีการแจกแจงแบบปัวส์ซอง คือ P(X;5)

ดังนั้น E(X) = 5 และ

นั่นคือ คาดว่าจะมีผู้โทรศัพท์เข้าบริษัทโดยเฉลี่ยเท่ากับ 5 ครั้งใน 1 นาที และมีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 5 ครั้งใน 1 นาที

7. การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ (Normal distribution)

การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง สามารถนำไปประยุกต์กับปรากฎการณ์ทั่วไป ได้อย่างกว้างขวาง ไม่ว่าจะเป็นงานทางด้านวิทยาศาสตร์ หรือสังคมศาสตร์ แม้ว่าบางครั้งตัวแปรที่ศึกษานั้นมีลักษณะไม่ต่อเนื่องก็ยังสามารถนำเอาการแจกแจงปกติเข้าไปประมาณค่าความน่าจะเป็นได้ เขียนแทนสัญลักษณ์ได้Nมีคุณสมบัติดังนี้

    1. โค้งการแจกแจงปกติ มีลักษณะเป็นโค้งรูประฆังคว่ำ มีจุดเปลี่ยนโค้งที่ X=
    2. พื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานเท่ากับ 1
    3. โค้งการแจกแจงสมมาตรที่ =

การเขียนกราฟของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติ นั้นโดยนำข้อมูลมาลงจุดจะได้เส้นโค้ง

ปกติ (Normal Curve) หรือโค้งรูประฆังคว่ำ (Bell-Shaped Curve) ฟังก์ชันการแจกแจงปกติมีสูตรดังนี้

f(x) = ………………………………………. (1)

โดยที่ คือค่าเฉลี่ย และ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

การหาความน่าจะเป็นของการแจกแจงปกติ ที่ตัวแปรสุ่ม X มีค่าระหว่า a และ b หมายถึงการหาพื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง X=a ถึง X=b เพราะการแจกแจงแบบปกติเป็นการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ดังนั้นตัวแปรสุ่มจึงเป็นค่าที่เป็นตัวเลขนับไม่ถ้วน จึงเขียนอยู่ในรูปของช่วง

P(a< X< b) = dx

จะเห็นว่าเส้นโค้งปกติที่สร้างขึ้นนั้นเป็นไปได้ในรูปแบบต่างๆ กัน ซึ่งแล้วแต่ค่า ของ และ

การหาพื้นที่ได้เส้นโค้งก็คำนวณจากสูตรที่ยุ่งยากและถ้าคำนวณตามรูปต่างๆ ในข้างต้นนั้นจะต้องคำนวณให้ได้ค่าพื้นที่ใต้เส้นโค้งมากมายแตกต่างกัน ไปด้วย ดังนั้นเพื่อความสะอาดต่อการคำนวณจึงมีตารางสำเร็จรูปโดยเป็นตารางที่แสดงพื้นที่สำหรับการแจกแจงปกติที่มี = 0 และ =1 เท่านั้น ซึ่งเรียกว่า Standard Normal Distribution สำหรับใช้กับโค้งปกติ

ซึ่งการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกตินั้นจะต้องเปลี่ยนค่าของเปลี่ยนค่าของสเกลเดิม (X -scale) ให้เป็นค่ามาตรฐาน (Standard Scores) หรือคะแนน ซี (Z - Scores) จากสูตร Z =

ลักษณะทั่วไปของการแจกแจงแบบปกติ มาตรฐาน

  1. เป็นรูปโค้งระฆังคว่ำที่สมมาตร (Symmetry ) ที่ =
  2. พื้นที่ใต้โค้งและเหนือแกน X ทั้งหมดเท่ากับ 1 หรือ 100%
  3. มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม เท่ากัน
  4. พื้นที่ใต้โค้งและเหนือแกน X ที่อยู่ระหว่าง

ตัวอย่างที่ 19  จงหาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานระหว่าง Z= 0.5 ถึง Z=1.25

วิธีท P(0.5Z1.25) = P(Z < 1.25) – P(Z< 0.5)

                                    = 0.3944-0.1915 = 0.209

ดังนั้นพื้นที่ใต้โค้งระหว่างค่า Z จาก 0.5 ถึง 1.25 มีพื้นที่เท่ากับ 0.2029 Z

ตัวอย่างที่ 20  จงหาพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐาน เมื่อ Z ที่น้อยกว่า –1

วิธีทำ P(Z< -1) = P(Z > 1)

                        = 1 – 0.8413 = 0.1587 Z

ดังนั้นพื้นที่ใต้โค้ง Z น้อยกว่า –1 มีค่าเท่ากับ 0.1587

ตัวอย่างที่ 21  ถ้าตู้เย็นยี่ห้อหนึ่งมีอายุการใช้งานแจกแจงแบบปกติมีค่าเฉลี่ย 16 ปี และความแปรปรวนอายุการใช้งาน 9 ปีและท่านซื้อตู้เย็นยี่ห้อนี้มาตู้หนึ่ง จงหาโอกาสที่จะมีอายุการใช้งานอยู่ระหว่าง 15 ปี ถึง 20 ปี

วิธีทำ ค่าของ x= 15; มีค่า Z = (15-16) / 3 = -0.33

                                       x= 20; มีค่า Z = (20-16) / 3 = 1.33 Z

ดังนั้น ค่าP(15< X < 20) = P(-0.33 < Z <1.33) -3 -2 -1 0 1 2 3

                    = P(-0.33 < Z < 0) +P(0 < Z < 1.33)

= P(0< Z < 0.33) + [P(Z < 0.33)-P(Z < 0)]

= P(Z < 0.33) – P(Z < 0) + [0.9082-0.5321]

= [0.6293-0.5000] +0.4028 = 0.1293 + 0.4028 = 0.5321

นั่นคือโอกาสที่ตู้เย็นที่ซื้อมาจะมีอายุการใช้งานอยู่ในระหว่างอยู่ระหว่าง 15-20 ปี เท่ากับ 0.5321

ตัวอย่างที่ 21 เครื่องซักผ้ายี่ห้อหนึ่งมีอายุการใช้งานแจกแจงแบบปกติค่าเฉลี่ย 9 ปี และค่าความแปรปรวน5.76 ปี ถ้าท่านซื้อเครื่องซักผ้ายี่ห้อดังกล่าวมาเครื่องหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่เครื่องซักผ้าจะมีอายุการใช้งานอย่างมาก8ปี

วิธีทำ จากค่า x=8 มีค่า Z = (8-9) /2.4 = -0.42

นั่นคือ P(X<8)      = P(Z < 0.42) = P(Z > 0.42) Z

= 1 – P(Z < 0.42) -3 -2 -1 0 1 2 3

= 1- 0.6628 = 0.3372

นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่เครื่องซักผ้าที่จะซื้อมาจะมีอายุการใช้งานอย่างมาก 8 ปี เท่ากับ 0.3372

ตัวอย่างที่ 22  ผลสอบวิชาสถิติของนิสิตกลุ่มหนึ่ง มีค่า =16, =5 ถ้า คมคายสอบได้

คะแนนได้24.65คะแนน แล้วจะมีกี่คนที่จะได้คะแนนต่ำกว่าคมคาย

วิธีทำ แปลงคะแนน 24.65 ให้เป็นคะแนน มาตรฐาน Z = = 1.73

คนที่ได้คะแนนต่ำกว่าคมคายคือ P (Z< 1.73) = 0.9682

ดังนั้นจะมีจำนวน 96 คน ใน 100 คนที่ได้คะแนนต่ำกว่าคมคาย

*******************************************************

แบบฝึกหัด

1. จงหาว่าโดยเฉลี่ยบริษัทแห่งนี้ควรจะขายรถยนต์ได้วันละกี่ครั้ง เมื่อยอดขายรถยนต์ในรอบเดือนหนึ่งได้ ข้อมูลดังนี้

รถยนต์ที่ขายได้ในแต่ละวัน (คัน) 0 1 2 3 4 5 6 7
จำนวนวันที่ขายได้ (วัน) 1 3 5 8 6 4 2 1

2. ในการประกอบธุรกิจการค้า ชนิดหนึ่งในช่วง 5 ปีถัดไป คาดว่าปีแรกจะขาดทุน 140,000 บาทปีที่สองจะขาดทุน 60,000 บาท ปีที่ สามจะได้กำไร 40,000 บาท ปีที่สี่จะได้กำไร 60,000 บาท และ ปีที่ห้าได้กำไร 90,000 บาท จงหาค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนการทำธุรกิจของแต่ละปีในช่วง 5 ปี ถ้าความน่าจะเป็นที่จะขาดทุนและกำไรในแต่ละปีตามลำดับดังนี้ 0.1, 0.1,0.2, 0.3, และ 0.3

3. นักวิจัยการตลาดผู้หนึ่งพบว่า 70% ของผู้ที่มีรายได้ระดับปานกลางจะซื้อเครื่องรับโทรทัศน์จากห้างสรรพสินค้า ถ้าสอบถามผู้มีรายได้น้อยระดับปานกลางจำนวน 15 คน ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นผู้มีรายได้น้อยระดับปานกลางซื้อเครื่องรับโทรทัศน์จากห้างสรรพสินค้าจำนวน

  1. 3 คน ข. 3 ถึง 5 คน
    2.   น้อยกว่า 9 คน ง. มากกว่า 9 คน

4. เจ้าหน้าที่สายการบินผู้หนึ่งทราบจากประสบการณ์ว่า โดยเฉลี่ยแล้วมีผู้โดยสารมาขึ้นเครื่องบินไม่ทันกำหนดจำนวน 3 คน ต่อเที่ยว ให้คำนวณค่าความน่าจะเป็นที่เที่ยวบินเที่ยวหนึ่ง

    1. มีผู้โดยสารมาขึ้นเครื่องบินไม่ทันจำนวน 5 คน
    2. ผู้โดยสารทุกคนมาขึ้นเครื่องบินทันกำหนด
    3. มีผู้โดยสารมาขึ้นเครื่องไม่ทันจำนวนระหว่าง 2 คน และ 5 คน

5. เจ้าหน้าที่ตำรวจรายงานว่า โดยเฉลี่ยแล้วจะมีอุบัติเหตูเกิดขึ้นบนทางโค้งแห่งหนึ่งจำนวน 14 ครั้ง ใน 1 สัปดาห์ ให้คำนวณหาค่าความน่าจะเป็นที่จะมีอุบัติเหตุเกิดขึ้นบนทางโค้งแห่งนั้น จำวน

    1. 2 ครั้ง ใน 1 วัน
    2. ตั้งแต่ 2 ถึง 5 ครั้งใน 1 วัน
    3. น้อยกว่า 2 ครั้ง ใน 1 วัน

6. ถ้าอายุการใช้งานของหม้อแบตเตอรี่ยี่ห้อ A = 4 ปี และมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 ปี และอายุการใช้งานของหม้อแบตเตอรี่ มีการแจกแจงปกติ จงหาความน่าจะเป็นที่อายุการใช้งานของหม้อแบตเตอรี่ลูกหนึ่งที่ซื้อมาจะ

    1. มากกว่า 3 ปี
    2. น้อยกว่า 3 ปี
    3. อยู่ระหว่าง 3 ถึง 5 ปี

7. คะแนนเฉลี่ยในการสอบวิชาหลักสถิติ 85 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 8 ผู้ที่สอบได้คะแนน 68 ถึง 77 คะแนน จะได้เกรด D ถ้ามีผู้สอบได้เกรด D = 25 คน โดยที่คะแนนสอบมีการแจกแจงความน่าจะเป็นใกล้เคียงแบบปกติ ถามว่ามีผู้เข้าสอบกี่คน

8. หลอดฟลูโอเรสเซนยี่ห้อหนึ่งมีอายุเฉลี่ยการใช้งานนานเท่ากับ 1,600 ชั่วโมง และมีความแปรปรวน 4,000 ชั่วโมง ถ้าอายุการใช้งานของหลอดฟลูโอเรสเซนสามารถอนุโลมได้ว่ามีการแจกแจงปกติ จงหาความน่าจะเป็นที่หลอดฟลูโอเรสเซน ที่ท่าซื้อมาหลอดหนึ่งจะมีอายุการใช้งานนาน

    1. อย่างต่ำ 1,500 ชั่วโมง
    2. ต่ำกว่า 1,500 ชั่วโมง
    3. อยู่ระหว่าง 1,540 ชั่วโมง ถึง 1,700 ชั่วโมง